Đạo hàm và vi phân

Bài này chỉ nhắc lại về notation của đạo hàm (derivative), và link đến một bài viết về vi phân (differential) toàn phần của hàm nhiều biến. Mục đích chính là để tra cứu sau này, nếu có quên.

1. Đạo hàm

Để kí hiệu đạo hàm có vài kiểu notation sau đây. Xem thêm ở wiki.

1.1. Leibniz notation

Thường dùng để biểu diễn đạo hàm của mối liên hệ y = f\left(x\right) của biến độc lập x và biến phụ thuộc y:

\displaystyle \frac{dy}{dx}

Hàm số mà giá trị tại x_0 chính là đạo hàm của y tại x_0 được kí hiệu là:

\displaystyle \frac{d\left(f\left(x\right)\right)}{dx} hay \displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x\right)

Các đạo hàm bậc lớn hơn được kí hiệu là:

\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n} hay \displaystyle \frac{d^n\left(f\left(x\right)\right)}{dx^n} hay \displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f\left(x\right)

Leibniz notation đặc biệt hữu ích vì cho phép xác định biến lấy đạo hàm bằng kí hiệu ở mẫu số, nhất là khi biểu diễn đạo hàm riêng hay đạo hàm của hàm hợp (chain rule):

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

1.2. Lagrange notation

Đây là lối viết quen thuộc trong toán cấp 3 ở Việt Nam. Theo đó:

  • f' kí hiệu đạo hàm bậc 1, hàm tương ứng là f'\left(x\right)
  • f'' kí hiệu đạo hàm bậc 2, hàm tương ứng là f''\left(x\right)
  • f''' kí hiệu đạo hàm bậc 3, hàm tương ứng là f'''\left(x\right)
  • f^{(n)} kí hiệu đạo hàm bậc n > 3, hàm tương ứng là f^{(n)}\left(x\right)

1.3. Euler notation

Xem việc lấy đạo hàm là một toán tử, Euler kí hiệu đạo hàm như sau:

  • Df kí hiệu đạo hàm bậc nhất của f(x)
  • D^n kí hiệu đạo hàm bậc n > 1 của f(x)
  • D_xy kí hiệu đạo hàm riêng bậc nhất theo x, với y= f(x)
  • D^n_xy kí hiệu đạo hàm riêng bậc n > 1 theo x, với y= f(x)

Notation này hay dùng để giải các phương trình vi phân tuyến tính.

1.4. Newton notation

Newton dùng dấu chấm để kí hiệu đạo hàm:

\displaystyle \dot{y} = \frac{dy}{dt}

\displaystyle \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}

và cứ thế cho các đạo hàm bậc cao hơn. Tuy nhiên cách viết này sẽ rắc rối với bậc lớn hơn 2, nên thông thường được dùng để biểu diễn đạo hàm bậc nhất (vận tốc) và bậc 2 (gia tốc) trong cơ học.

1.5. Notation với hàm nhiều biến

Kí hiệu quan trọng nhất trong đạo hàm của hàm nhiều biến là toán tử Hamilton \nabla (đọc là nabla), kí hiệu dưới dạng vector của các đạo hàm riêng theo các biến:

\displaystyle \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2},\dots , \frac{\partial}{\partial x_n}\right)

Từ đó ta có:

  • Gradient của hàm \varphi = f \left(x_1, x_2, \dots , x_n\right) \in \mathbb{R} là một vector của các đạo hàm riêng bậc nhất, kí hiệu là

\displaystyle \begin{array}{rl} \text{grad}\varphi & = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \frac{\partial\varphi}{\partial x_2},\dots , \frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) \\ \; & = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2},\dots , \frac{\partial}{\partial x_n}\right)\varphi \\ \; & = \nabla\varphi\end{array}

  • Divergence của một vector A là một giá trị vô hướng (scalar), được biểu diễn là tích vô hướng của \nabla và A

{\displaystyle \begin{array}{rl}\text{div}\textbf{A} & =\left(\frac{\partial\textbf{A}_{1}}{\partial x_{1}},\frac{\partial\textbf{A}_{2}}{\partial x_{2}},\dots,\frac{\partial\textbf{A}_{3}}{\partial x_{n}}\right)\\\; & =\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}},\frac{\partial}{\partial x_{2}},\dots,\frac{\partial}{\partial x_{n}}\right)\cdot\textbf{A}\\\; & =\nabla\cdot\textbf{A}\end{array}}

  • Laplacian của \varphi là một giá trị vô hướng, là kết quả của việc tính divergence của gradient của \varphi:

{\displaystyle \text{div }\text{grad}\varphi = \nabla\cdot\left(\nabla\varphi\right)=\left(\nabla\cdot\nabla\right)\varphi=\nabla^2\varphi=\Delta \varphi}

trong đó \Delta=\nabla^{2} gọi là toán tử Laplacian.

  • Rotation của vector A là một vector, là kết quả của phép nhân có hướng (cross product) giữa \nabla và A

{\displaystyle \text{curl}\textbf{A}\equiv\text{rot}\textbf{A}=\nabla\times\textbf{A}}

2. Vi phân

Bài viết này về vi phân toàn phần khá hoàn chỉnh và digestible.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s